Mαθηματικό μοντέλο εξηγεί γιατί το γοητευτικό όχημα ισορροπεί και χωρίς αναβάτη
Πιάστε το ποδήλατο από το τιμόνι και χωρίς να ανεβείτε στη σέλα «τρέξτε» το για κάποια απόσταση κρατώντας το ίσιο και σταθερό. Αφήστε το. Αν έχετε αναπτύξει αρκετή ταχύτητα αυτό θα συνεχίσει να τρέχει μόνο του, ευθυτενές και αυτόνομο. Ακόμη και αν για κάποιον λόγο γείρει, θα ανακτήσει την ισορροπία του και θα συνεχίσει όρθιο την πορεία του.
Οποιοδήποτε ποδήλατο, κάθε μεγέθους και κάθε είδους, έχει αυτή τη μαγική ικανότητα ισορροπίας. Αυτός είναι άλλωστε και ένας λόγος που πολλοί δυσκολεύονται να μάθουν να το οδηγούν – πρέπει να αφεθείς σε αυτό, να του επιτρέψεις να «σε πηγαίνει». Αν ακολουθήσεις την κίνησή του, δεν πρόκειται ποτέ να σε αφήσει να πέσεις.
Η «αυτοσταθερότητα», που το συνοδεύει από τις πρώτες πεταλιές του, είναι γνωστή στους λάτρεις του εδώ και ενάμιση αιώνα. Κατά καιρούς πολλοί έχουν αποπειραθεί να την εξηγήσουν. Αρχικά είχε αποδοθεί στο γυροσκοπικό φαινόμενο από την κίνηση των τροχών. Αργότερα σε αυτόν τον παράγοντα προστέθηκε το λεγόμενο ίχνος ή τρέιλ (trail) – η θέση του σημείου επαφής της μπροστινής ρόδας με το έδαφος σε σχέση με τον άξονα του τιμονιού. Και εδώ το ζήτημα είχε θεωρηθεί λήξαν.
Ο Τζιμ Παπαδόπουλος, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Northeastern στη Βοστώνη
Τίποτε όμως δεν πρέπει να θεωρείται δεδομένο ενώ ακόμη και τα απλούστερα πράγματα μπορεί να κρύβουν πίσω τους την πιο πολύπλοκη επιστήμη. Μια ομάδα μηχανικών, ειδικών στη δυναμική, έδειξε ότι όλα όσα θεωρούσαμε ως τώρα δεδομένα για τη σταθερότητα στην κίνηση του ποδηλάτου τελικά απλώς δεν ισχύουν. Αναπτύσσοντας για πρώτη φορά μια αξιόπιστη εξίσωση και ένα μαθηματικό μοντέλο ανατρέπουν κάθε θεωρία και δείχνουν ότι ένα ποδήλατο μπορεί να παραμένει σταθερό και «οδηγήσιμο» ακόμη και όταν το τιμόνι του βρίσκεται πίσω από τη σέλα!
Ενα ποδήλατο που κινείται μπορεί να ισορροπήσει μόνο του χωρίς αναβάτη. «Το πιο εκπληκτικό στην ιστορία του ποδηλάτου είναι ότι αυτή η γνώση – μια μεγάλη γνώση –υπάρχει εδώ και εκατόν σαράντα χρόνια» λέει μιλώντας στο «Βήμα» ο Τζιμ Παπαδόπουλος, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Northeastern στη Βοστώνη των Ηνωμένων Πολιτειών και βασικός εμπνευστής της σχετικής μελέτης που δημοσιεύθηκε πρόσφατα στην επιθεώρηση «Science». «Ολο αυτό το διάστημα αυτό «έβγαινε» κάθε τόσο σε κάποια εφημερίδα, ταινία ή επιστημονική δημοσίευση. Αν όμως ρωτήσετε εκατό ανθρώπους ή εκατό επιστήμονες θα σας πουν “μα φυσικά και δεν μπορεί να μείνει όρθιο,μένει όρθιο μόνο χάρη στον ποδηλάτη”. Δεν ξέρω γιατί και πώς, όμως αυτή η γνώση ξεχνιέται σε κάθε γενιά».
Δίτροχη σταθερότητα
Οι πρώτες μαθηματικές αναλύσεις της δυναμικής του ποδηλάτου εμφανίστηκαν στα τέλη της δεκαετίας του 1890, ενώ η πρώτη απόπειρα να εξηγηθεί η «αυτοσταθερότητά» του μέσω της Φυσικής έγινε το 1910, από τον Αρνολντ Ζόμερφελντ, τον φυσικό που είχε προταθεί 81 φορές για το βραβείο Νομπέλ, και τον Φέλιξ Κλάιν, τον μαθηματικό της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Σε μια εργασία που αποτέλεσε έναν από τους ακρογωνιαίους λίθους της «ποδηλατικής επιστήμης» οι δυο κορυφαίοι γερμανοί επιστήμονες την είχαν αποδώσει στο γυροσκοπικό φαινόμενο – την τάση που έχει ένα περιστρεφόμενο σώμα (στην περίπτωση αυτή οι ρόδες του ποδηλάτου) να διατηρεί τον προσανατολισμό του αλλάζοντας την κατεύθυνση του άξονά του όταν κάποιες δυνάμεις το αναγκάζουν να γείρει..
Η ερμηνεία των Ζόμερφελντ και Κλάιν διατήρησε την απόλυτη πρωτοκαθεδρία για περισσότερο από μισό αιώνα. Στη δεκαετία του 1970 όμως ο βρετανός χημικός Ντέιβιντ Τζόουνς ήρθε να συμπληρώσει τις γενικές αρχές της ποδηλατικής ισορροπίας. Με μια μελέτη που δημοσιεύθηκε δύο φορές στην επιθεώρηση «Physics Today», επανέφερε στο παιχνίδι τον ξεχασμένο παράγοντα της γεωμετρίας με το ίχνος ή τρέιλ. Αυτό συνίσταται στην απόσταση που χωρίζει το σημείο όπου η νοητή προέκταση του άξονα του τιμονιού τέμνει το έδαφος από το σημείο επαφής της μπροστινής ρόδας με το έδαφος. Για να είναι ένα δίτροχο σταθερό, συμπέραινε ο Τζόουνς, το ίχνος του θα πρέπει να έχει οπωσδήποτε θετική τιμή – το οποίο με απλά λόγια σημαίνει ότι ο άξονας του τιμονιού θα πρέπει να «πέφτει» μπροστά από το σημείο επαφής της ρόδας με το έδαφος.
Το νέο μαθηματικό μοντέλο
Ο κ. Παπαδόπουλος, φανατικός της δυναμικής του ποδηλάτου από τα πρώτα επιστημονικά του βήματα, δεν ήταν ικανοποιημένος με αυτές τις ερμηνείες. Είχε την αίσθηση ότι τα πράγματα ήταν «λειψά». Γι’ αυτό και βάλθηκε να τα συμπληρώσει. «Τα συμπεράσματα αυτά δεν εξηγούσαν, απλώς ανέλυαν και στις περισσότερες περιπτώσεις είχαν λάθη» λέει. «Εμείς επιλέξαμε μια διαφορετική προσέγγιση. Θεωρήσαμε ότι μπορούσαμε να μάθουμε κάτι κοιτάζοντας προσεκτικά για να βρούμε πού ακριβώς βρίσκονται οι σωστές εξισώσεις ώστε να φτιάξουμε ένα πραγματικό μαθηματικό μοντέλο». Συνεργαζόμενος με τον Αντι Ρουίνα στο Πανεπιστήμιο Κορνέλ στη Νέα Υόρκη, κατέληξε σε μια εξίσωση ήδη από τα μέσα της δεκαετίας του 1980. Ορισμένες προβλέψεις της όμως ήταν μάλλον «απίστευτες» αφού κατέρριπταν και τις δύο γενικώς αποδεκτές βασικές αρχές της ποδηλατικής δυναμικής υποδεικνύοντας ότι ένα ποδήλατο μπορεί να εξακολουθεί να είναι σταθερό χωρίς γυροσκοπικό φαινόμενο και χωρίς θετικό ίχνος ακόμη και χωρίς τον ποδηλάτη.
Ενα τόσο αιρετικό συμπέρασμα θέλει πολλή δουλειά για να επιβεβαιωθεί και, καθώς αυτή ήταν μια ενασχόληση στην οποία οι δυο επιστήμονες εντρυφούσαν κυρίως στον ελεύθερο χρόνο τους, η λύση έμενε πίσω. Το 2002 όμως η τύχη έφερε στον δρόμο τους τον Αρεντ Σβαμπ, καθηγητή στο Πολυτεχνείο του Ντελφτ στην Ολλανδία και επίσης φανατικό της δυναμικής των ποδηλάτων. Με τη βοήθεια του κ. Σβαμπ και ενός ακόμη συναδέλφου τους, του Γιάαπ Μάγιαρντ από το Πανεπιστήμιο του Νότιγχαμ στη Βρετανία, οι εργασίες επιταχύνθηκαν. Οι προηγούμενες μελέτες πέρασαν από το κόσκινο της ανάλυσης και όπως αποδείχθηκε ακόμη και οι αυθεντίες Ζόμερφελντ και Κλάιν, και πριν από αυτούς ο Γουίπλ, είχαν σφάλει: είχαν στηρίξει τα συμπεράσματά τους σε μεμονωμένες περιπτώσεις και… λανθασμένα μαθηματικά!
Η ποδηλατική δυναμική σε μια εξίσωση
Τα βασικά μειονεκτήματα των προηγούμενων ερευνών ήταν σύμφωνα με τον κ. Παπαδόπουλο ότι όλοι επέλεγαν «δύσκολους» δρόμους, με εξαιρετικά πολύπλοκες και επιρρεπείς σε σφάλματα εξισώσεις, ενώ παράλληλα εργάζονταν μεμονωμένα και ανεξάρτητα. «Εμείς δημιουργήσαμε ένα “τρίγωνο” Κορνέλ – Νότιγχαμ – Ντελφτ,εργαζόμασταν όλοι στο ίδιο πρόβλημα και μπορούσαμε να συγκρίνουμε τα αποτελέσματά μας» συμπληρώνει ο Αρεντ Σβαμπ, μιλώντας στο «Βήμα». Η συνεργασία αυτή επιβεβαίωσε το μοντέλο του κ. Παπαδόπουλου και οδήγησε τελικά στη «γραμμικοποιημένη εξίσωση της κίνησης του ποδηλάτου». Η εξίσωση αυτή, η οποία δημοσιεύθηκε στην επιθεώρηση «Proceedings of the Royal Society A» το 2007, προσφέρει για πρώτη φορά ένα γενικό – και απλό – θεωρητικό μοντέλο για την ποδηλατική δυναμική.
«Διασκεδάσαμε πολύ κάνοντας αυτή τη δουλειά γιατί τελικά αποκαλύφθηκε ότι πολλοί είχαν εξετάσει τη δυναμική του ποδηλάτου στο παρελθόν αλλά κανένας δεν συνέκρινε με τον άλλον, ο καθένας ξεκινούσε από την αρχή, έβγαζε εξισώσεις, έβγαζε αποτελέσματα,αλλά διαπιστώσαμε ότι δεν συμφωνούσαν μεταξύ τους» λέει ο κ. Σβαμπ. «Ηταν πραγματική πρόκληση να τα ξεκαθαρίσουμε όλα αυτά, αλλά τελικά καταλήξαμε σε ένα μοντέλο. Και με το μοντέλο αυτό μπορούμε να διερευνήσουμε πλέον ολόκληρη τη σταθερότητα του ποδηλάτου».
Επιβεβαίωση στην πράξη
Επόμενο βήμα, όπως τονίζει ο ολλανδός μηχανικός, ήταν «να δοκιμάσουν τη συνταγή» _ να επιβεβαιώσουν δηλαδή τη θεωρία τους στην πράξη με ένα πείραμα. Αποφάσισαν να φτιάξουν ένα ποδήλατο χωρίς γυροσκοπικό φαινόμενο και χωρίς ίχνος και να δουν αν θα ήταν σταθερό. Το εγχείρημα ξεκίνησε από τον Αντι Ρουίνα στο Κορνέλ. «Προσπάθησα να το κάνω με έναν φοιτητή μου αλλά ήταν δύσκολο, αποτύχαμε» λέει ο κ. Ρουίνα μιλώντας στο «Βήμα». «Τότε είπαμε στον Αρεντ να δοκιμάσει και μαζί με τον Γιόντι Κόιμαν και τον Τζιμ τελικά τα κατάφεραν». Η κατασκευή είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη, όπως εξηγεί ο κ. Σβαμπ: «Εχει να κάνει με πολύ μεγάλη ακρίβεια στις διαστάσεις και δεν πρέπει να υπάρχει σχεδόν καθόλου τριβή». Το Πρότυπο 1, όπως λέει, δεν λειτούργησε και το ίδιο συνέβη με το Πρότυπο 2. Το Πρότυπο 3 όμως, ύστερα από ενάμιση χρόνο, ήταν πλήρως λειτουργικό.
Πρόκειται για το λεγόμενο «Two-Mass-Skate Bicycle» ή TMS, του οποίου η πλήρης ανάπτυξη δημοσιεύθηκε εφέτος στο «Science». Βλέποντάς το δεν θα σας θυμίσει ίσως απόλυτα ποδήλατο, είναι όμως φτιαγμένο με βάση τις ίδιες βασικές αρχές σχεδιασμού. Για να εξουδετερωθεί το γυροσκοπικό φαινόμενο οι ερευνητές χρησιμοποίησαν δυο ζευγάρια ρόδες _ το δεύτερο είναι τοποθετημένο επάνω από το άλλο και περιστρέφεται αντίστροφα. Το ίχνος (το οποίο όπως μας αποκαλύπτει ο κ. Σβαμπ έπρεπε κανονικά βάσει του μοντέλου να είναι μηδενικό αλλά τελικά τους βγήκε «ελαφρώς» αρνητικό) αντισταθμίζεται χάρη στη «γεωμετρία» _ τις μικρές ρόδες που κάνουν το TMS να μοιάζει με πατίνι και τον σχεδιασμό που φέρνει τον μπροστινό τροχό μπροστά από τον άξονα του τιμονιού.
Οπως περιγράφεται στη μελέτη, όταν αφεθεί με ταχύτητα λίγο μεγαλύτερη από 5 μίλια την ώρα (περίπου 8 χλμ.) το TMS, παρά τις «ελλείψεις» του, συνεχίζει τον δρόμο του ισορροπώντας όπως όλα τα «συμβατικά» ποδήλατα. Αν σπρωχθεί ελαφρά ώστε να γείρει, και πάλι όπως όλα τα ποδήλατα, ανακτά την ισορροπία του και συνεχίζει την πορεία του (μπορείτε να δείτε το σχετικό βίντεο στη διεύθυνση http://bicycle.tudelft.nl/stablebicycle).
Εχουμε κι άλλα να μάθουμε!
Το TMS αποδεικνύει και στην πράξη ότι ένα ποδήλατο δεν χρειάζεται απαραίτητα τη «βοήθεια» του γυροσκοπικού φαινομένου ή του ίχνους για να είναι σταθερό. Ποιος είναι όμως ο παράγοντας που του χαρίζει την ισορροπία του; Η απάντηση και των τριών ειδικών είναι ομόφωνη: δεν ξέρουμε. «Το παράδοξο με την ιστορία μας» λέει ο Αντι Ρουίνα«είναι ότι τελικά δεν λύσαμε το πρόβλημα. Απλώς δείξαμε ότι οι άλλοι δεν είχαν λύσει το πρόβλημα. Και αυτό όμως είναι χρήσιμο γιατί μάθαμε ότι δεν ξέραμε πολλά πράγματα». Οπως εξηγούν, οι επιστήμονες διερεύνησαν πολλές παραμέτρους, αλλά δυστυχώς δεν βρήκαν κάποιον «μαγικό» παράγοντα που να υπερισχύει έναντι των άλλων. Τα πράγματα φαίνονται να λειτουργούν συνδυαστικά – τουλάχιστον προς το παρόν. «Θα μπορούσαμε να πούμε ότι πρέπει να υπάρχει οποιοδήποτε από δέκα διαφορετικά πράγματα» εξηγεί ο Τζιμ Παπαδόπουλος. «Ψάχνουμε να δούμε αν υπάρχει κάτι πιο ισχυρό αλλά δεν ξέρουμε.Οχι ακόμη».
Ο κ. Σβαμπ περιγράφει πώς στις διάφορες αναλύσεις τους εξουδετέρωναν το γυροσκοπικό φαινόμενο, το ίχνος ή κάποιον άλλο παράγοντα ή άλλαζαν την κατανομή της μάζας και, πάλι, πολλές φορές, το ποδήλατο εξακολουθούσε να παραμένει σταθερό. «Για κάθε παράγοντα Χ βρίσκουμε πάντα έναν άλλο που λέει ότι και να εξουδετερωθεί ο Χ, πάλι το ποδήλατο μπορεί να είναι σταθερό ή ασταθές ανάλογα με τον συνδυασμό. Αυτή είναι η μόνη ερμηνεία που παίρνουμε από τα μαθηματικά» λέει.
Πού στρίβουμε για να μην πέσουμε;
Τώρα, όπως προσθέτει, αναζητούν μια εξήγηση μέσω της Φυσικής. Η μόνη άκρως απαραίτητη συνθήκη που έχουν εντοπίσει ως τώρα σε όλες τις περιπτώσεις και όλα τα μοντέλα είναι ότι όταν ένα ποδήλατο πέφτει προς τα αριστερά, πρέπει να έχει την ικανότητα να στρίβει αυτόματα το τιμόνι του προς τα αριστερά για να ξαναβρεί την ισορροπία του και όταν πέφτει προς τα δεξιά, πρέπει να στρίβει δεξιά. «Το ερώτημα είναι πώς επιτυγχάνεται αυτό το χαρακτηριστικό;» λέει ο ερευνητής. «Μπορεί να αποδοθεί κατά κάποιον τρόπο στο γυροσκοπικό φαινόμενο, μπορεί όμως να επιτευχθεί και από τη γεωμετρία, από τις δυνάμεις που επενεργούν βάσει του σχεδιασμού και της κατανομής της μάζας».
Ενα ουσιαστικό συμπέρασμα που βγαίνει πάντως από όλα αυτά είναι ότι, από μια ορισμένη ταχύτητα και μετά, ο ποδηλάτης δεν χρειάζεται να κάνει σχεδόν τίποτε για να διατηρήσει την ισορροπία του ποδηλάτου του. Αυτό σημαίνει ότι όσο πιο «ισορροπημένο» είναι ένα ποδήλατο τόσο καλύτερο είναι στην οδήγηση. «Μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα αυτή η πλευρά, η πλευρά του χειρισμού του ποδηλάτου» λέει ο κ. Σβαμπ. «Αυτό που θα θέλαμε είναι να προβλέψουμε τον χειρισμό του ποδηλάτου ήδη από τον αρχικό σχεδιασμό του γιατί,ξέρετε, ως τώρα ο σχεδιασμός των ποδηλάτων δεν γινόταν “επιστημονικά”. Στα απλά ποδήλατα ίσως αυτό δεν είναι απαραίτητο, αλλά στα μοντέρνα ανακεκλιμένα ή “σπαστά” μοντέλα είναι σημαντικό».
Ο ρόλος του αναβάτη
Για να προχωρήσουν σε αυτό το στάδιο είναι απαραίτητο να κατανοήσουν τον ρόλο του ποδηλάτη. Αν η ανάλυση του ποδηλάτου χωρίς οδηγό ήταν δύσκολη, η ανάλυση του αναβάτη είναι, όπως λένε και οι τρεις, ακόμη πιο πολύπλοκη. Παρά την πρόοδό της σε άλλους τομείς, από μηχανικής απόψεως η επιστήμη σήμερα δεν είναι σε θέση να εξηγήσει πώς στεκόμαστε όρθιοι ή πώς περπατάμε, πόσω μάλλον το πώς οδηγούμε ένα ποδήλατο.«Δεν ξέρω καν ποιο ερώτημα να θέσω» λέει ο κ. Παπαδόπουλος επισημαίνοντας ότι αντίστοιχες μελέτες έχουν γίνει μεν για πιλότους, αλλά αυτές είναι εντελώς διαφορετικές γιατί ένας πιλότος ελέγχει την κίνηση του αεροπλάνου μόνο με τα χέρια του ενώ ένας ποδηλάτης επηρεάζει το ποδήλατο με κάθε σημείο του σώματός του. «Γνωρίζουμε τόσο λίγα για αυτό το ζήτημα ώστε τουλάχιστον μπορούμε να σημειώσουμε κάποια πρόοδο,νομίζω» συμπληρώνει ο κ. Ρουίνα.
Προσφέρουν όλα αυτά κάτι περισσότερο από την καλύτερη γνώση της δυναμικής και έναν καλύτερο σχεδιασμό του ποδηλάτου; «Μπορεί οι διαπιστώσεις μας να μην αλλάζουν τον κόσμο, αποτελούν όμως μια πρόκληση για τον τρόπο με τον οποίο σκέφτονται οι άνθρωποι» λέει ο κ. Παπαδόπουλος ενώ ο κ. Ρουίνα συμπληρώνει ότι ο λόγος για τον οποίο το μοντέλο τους δημοσιεύθηκε στο «Science» ήταν ότι αποδεικνύει πως ένα κοινό σύστημα μπορεί να είναι αυτόνομα σταθερό χωρίς απώλεια ενέργειας.
«Η πιο διαδεδομένη παρανόηση στους επιστήμονες είναι ότι τα συστήματα για να αυτοσταθεροποιηθούν χρειάζονται τριβή. Και το δικό μας είναι ένα ξεκάθαρο παράδειγμα ότι αυτό δεν ισχύει» τονίζει. Οσον αφορά τις παρούσες μελέτες τους σχετικά με τον ποδηλάτη ο ειδικός, ο οποίος ασχολείται επίσης τα τελευταία χρόνια με το βάδισμα, πιστεύει ότι ενδεχομένως θα συμβάλουν στην καλύτερη διάγνωση των κινητικών προβλημάτων που αντιμετωπίζουν πολλοί άνθρωποι.
ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ
Το Mid Racer της RaptoBike
Στην Ολλανδία, όπου η ποδηλασία είναι κατά κάποιον τρόπο «εθνικό» σπορ, η Batavus, μια από τις μεγαλύτερες κατασκευάστριες εταιρείες ποδηλάτων, υποστηρίζει την έρευνα των τριών επιστημόνων παρέχοντάς τους ποδήλατα, εξαρτήματα και ελαστικά για τα πειράματά τους. Ωστόσο, αν και κατά κάποιον τρόπο «παρακολουθεί» την πρόοδό τους, δεν έχει ζητήσει ως τώρα τα «φώτα» τους για τον σχεδιασμό των ποδηλάτων της.
Αυτό έγινε από μια μικρότερη εταιρεία η οποία κατασκευάζει ανακεκλιμένα (recumbent) ποδήλατα, τη RaptoBike, σε μια συνεργασία που ο κ. Σβαμπ αποκαλεί «η μικρή ιστορία επιτυχίας της έρευνάς μας».
Οπως εξηγεί, πριν από δύο χρόνια η RaptoBike προγραμμάτιζε να κυκλοφορήσει το Mid Racer, μια νέα εκδοχή του Low Racer, του ήδη επιτυχημένου ποδηλάτου της το οποίο θεωρείται πολύ καλό στον χειρισμό του. «Ηθελαν το καινούργιο σχέδιο να έχει τον ίδιο χειρισμό με το παλιό» εξηγεί ο κ. Σβαμπ. «Εμείς τους είπαμε ότι δεν ξέρουμε και πολλά για τον χειρισμό αλλά θα μπορούσαμε να τους πούμε πώς μπορούν να του δώσουν τα ίδια δυναμικά χαρακτηριστικά. Ακολούθησαν τις οδηγίες μας και μας είπαν ότι, αν και το μοντέλο ήταν διαφορετικό, έδινε την ίδια αίσθηση. Αυτή ήταν μια μικρή επιτυχία για τις έρευνές μας».
